Tılsımlı Kuark

Bir süredir moleküler modelleme  (molecular dynamics / molecular modeling) üzerine yazmak istiyor fakat sürekli çeşitli nedenlerden ötürü bunu erteliyordum. Sonunda yazmak istediğim daha ileri düzey konulara dayanak oluşturması için artık daha fazla ertelemeyip buna bir giriş yapmaya karar verdim. Moleküler modelleme ; Wikipedia'ya göre, teorik ya da hesaplamalı; herhangi bir amaç için atomların ve moleküllerin davranışlarını modelleme çabalarının bir bütünüdür. Atom fiziğinden, malzeme bilimine; kimyadan, moleküler biyolojiye kadar bilimin birçok alanında da geniş uygulamalara sahip bir disiplindir. Temelde Newton'ın ikinci yasasını, $\vec{F} = m\vec{a}$, $n$ sayıda atom ya da molekül için çözme prensibine dayanır. Yani moleküler modelleme , klasik mekaniksel bir metottur. Kuantum mekaniksel etkileri göz ardı eder. Bu nedenle kuantum mekaniksel etkileşimlerin göz ardı edilemeyecek kadar etkili olduğu sistemlerde kullanılmaz. Henüz kaç yazıdan oluşacağını ya da ne kad...

Fiziksel sistemlerin dinamiğini tanımlarken hareket denklemlerini (equation of motion) kullanırız. Bu hareket denklemleri genellikle diferansiyel denklemlerdir (differential equations). Bu denklemleri çözdüğümüzde, bu sistemlerin herhangi bir t anındaki durumunu öğrenebiliriz. Çünkü klasik mekanik deterministiktir . Bu da; belli başlı başlangıç koşullarını bilmemiz durumunda, o sistemin geçmişini ve geleceğini ön görebilmemiz anlamına geliyor. Peki bu hareket denklemlerini nasıl elde edebiliriz? Çünkü farklı dinamiklere sahip sistemlerin farklı hareket denklemleri vardır. Bu durum, onların herhangi bir zaman diliminde bulunacakları durumu etkileyen parametrelerin farklılığından kaynaklanır. İncelediğimiz sistemler için hareket denklemlerini elde etmemize yarayan birden fazla klasik mekanik formülasyonu bulunmakta. Newton mekaniği (Newtonian mechanics), Lagrange mekaniği (Lagrangian mechanics), Hamilton mekaniği (Hamiltonian mechanics) bu formülasyonlara örnek olarak gösterilebi...

$\vec{r}$ bir parçacığın, bir orijine göre yarıçap vektörü ; ve $\vec{v}$ de onun hız vektörü olsun. Bu durumda hız vektörümüzü , konum vektörümüzün zamana göre değişimi şeklinde tanımlayabiliriz: \[ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}. \] Parçacığımızın lineer momentumunu , $\vec{p}$, da; parçacığın kütlesi ile hızının çarpımı olarak tanımlayalım: \[ \vec{p} = m\vec{v}. \] Dış nesnelerin ya da alanların etkisi ile bu parçacığa çeşitli kuvvetler etkiyebilir. Bu parçacığa etkiyen tüm kuvvetlerin vektörel toplamı; toplam kuvveti, $\vec{F}$, verir. Parçacığımızın mekaniği, parçacığın hareketinin bir diferansiyel denklem ile açıklandığı ve uygun referans çerçevelerinin var olduğu Newton'ın 2. yasası altında incelenir. Newton'ın 2. yasasına göre: \[ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \dot{\vec{p}}, \] ya da \[ \vec{F} = \frac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}. \] $\vec{a}$, burada parçacığımızın ivmesini temsil ediyor ve \[ \vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \] şekli...

Blog istatistiklerine göre; bilimsel programlama ve hesaplamalı fizik yazıları, bu blogun en çok okunan içerikleri durumunda. Bir süredir herhangi bir yazı yayınlamadığım için geri dönüşümü de bir bilimsel programlama yazısı ile yapmak istedim. Bu yazıda trapezoid kuralı yardımıyla, girilen bir fonksiyonun nümerik olarak integralini alan bir kod yazmaya çalışacağız. Ben bu yazı için Python dilini tercih ettim. Elbette siz, herhangi başka bir programlama dili ile de bunu yapabilirsiniz. İşin kod kısmını yazının en sonuna bırakacağım. Zira, programlamada önemli olan her zaman algoritmadır. Kod, işin uygulama kısmıdır. Eğer algoritma, iyi anlaşılırsa kodu yazmak çok daha kolay olur. Trapezoid kuralına girmeden önce nümerik integrasyon dediğimiz şeyin ne olduğundan bahsetmek istiyorum. Ama genel anlamda nümerik ve analitik yöntemlerin ne olduğundan ve aralarındaki farklardan, başka bir yazıda bahsetmeyi planlıyorum. Nümerik integral ya da nümerik integrasyon , bir belirli...

Herkese merhaba, bu yazımda irrasyonel sayılardan bahsedeceğiz ve $\sqrt{2}$'nin irrasyonelliğini kanıtlayacağız. Öncelikle, irrasyonel sayılar kümesinin tanımını yapalım. $a$ ve $b$ tam sayı olmak üzere $\frac{a}{b}$ biçiminde yazılamayan sayıların kümesine irrasyonel sayılar kümesi denir. Bir örnek vermek gerekirse, $\sqrt{2}$ bir irrasyonel sayıdır. Peki bunu nereden biliyoruz? Ya da kanıtlayabilir miyiz? Cevap: Evet! Bu matematiksel kanıtta kullanacağımız yöntem $\sqrt{2}$'nin rasyonel olduğu hipotezini yanlışlamak olacak. Çünkü; "$\sqrt{2}$, bir rasyonel sayıdır." hipotezini yanlışlamayı başarabilirsek, $\sqrt{2}$'nin irrasyonel olduğunu kanıtlamış oluruz. Varsayalım ki $\sqrt{2}$ bir rasyonel sayı olsun. Bu durumda tanım gereği onu şu formda yazabiliriz: $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$. En sade formda yazdığımız için $a$ ve $b$'nin ikisi de çift sayı olamaz. İkisinden biri tek sayı olmak durumunda. Kanıta dönersek, bu aşamada eşitliğin her iki tar...

Herkese merhaba, Monte Carlo metoduna giriş yaptığım yazımdan sonra bu yazımda da bu metodu kullanarak pi sayısını belirlemeye çalışacağım. Öncelikle önceki yazıyı okumadıysanız, önce onu okumanızı öneririm. Monte Carlo Metoduna Giriş - Tılsımlı Kuark Doğrudan işe girişmeden önce pi sayısını geometrik olarak inceleyelim isterseniz. Hazırladığım görselde de gördüğünüz gibi birbirine teğet olan bir çemberi ve bir kareyi inceliyoruz. Eğer "D" çaplı bir çember ile çalışıyorsak doğal olarak karemizin de bir kenarı "D" uzunlukta olur. Görselden takip edebileceğiniz ufak işlemlerden sonra pi sayısını çemberin alanının karenin alanına oranını 4 ile çarparak elde edebileceğimizi görebiliriz. Bildiğiniz üzere Monte Carlo metodu rastgele sayıların rastgele durumlara atanması prensibine dayanır. Bu örnekte alanı çok sayıda nokta ile ifade edeceğiz. İzleyeceğimiz yol ise şu şekilde olacak: Karenin içine rastgele noktalar atayacağız. Bu noktaların çemberin içinde mi y...

Herkese merhaba, bu yazıda Monte Carlo metoduna temelden ve kısa bir giriş yapmayı planlıyorum. "Monte Carlo metodu" ya da "Monte Carlo simülasyonu" olarak bilinen bu yöntem, rastgele üretilen sayılardan faydalanarak istatistiksel simülasyonlar yapmaya yarar. Nicholas Constantine Metropolis tarafından bulunmuş olup, atom bombasının geliştirildiği Los Alamos Laboratuvarında, bombanın patlamasından sonra dağılan nötronlara karşı kalkan modellemek için kullanılan bu yöntem Stanislaw Ulam sayesinde günümüze kadar ulaşmıştır. Deney girdilerinin belirli olmadığı, kesin olmayan bir şekilde gelmesi beklendiği durumlarda ve dağılımın bir fonksiyonla hesaplanabildiği durumlarda bu metod kulanılır. Monte Carlo, rastgele sayıları baz alarak tahmini sistemleri modeller. Birkaç örnek vermek gerekirse; borsa modellerinde, sayısal analizde, doğa olayların simülasyonunda, atomik ve moleküler fizikte, nükleer fizikte ve yüksek enerji fiziğinde Monte Carlo simülasyonları sıkç...