√2 Neden İrrasyoneldir? | Matematiksel Kanıt

Herkese merhaba, bu yazımda irrasyonel sayılardan bahsedeceğiz ve $\sqrt{2}$'nin irrasyonelliğini kanıtlayacağız.

Öncelikle, irrasyonel sayılar kümesinin tanımını yapalım. $a$ ve $b$ tam sayı olmak üzere $\frac{a}{b}$ biçiminde yazılamayan sayıların kümesine irrasyonel sayılar kümesi denir.

Bir örnek vermek gerekirse, $\sqrt{2}$ bir irrasyonel sayıdır. Peki bunu nereden biliyoruz? Ya da kanıtlayabilir miyiz? Cevap: Evet!

Bu matematiksel kanıtta kullanacağımız yöntem $\sqrt{2}$'nin rasyonel olduğu hipotezini yanlışlamak olacak. Çünkü; "$\sqrt{2}$, bir rasyonel sayıdır." hipotezini yanlışlamayı başarabilirsek, $\sqrt{2}$'nin irrasyonel olduğunu kanıtlamış oluruz.

Varsayalım ki $\sqrt{2}$ bir rasyonel sayı olsun. Bu durumda tanım gereği onu şu formda yazabiliriz:

$\sqrt{2} = \frac{a}{b}$.

En sade formda yazdığımız için $a$ ve $b$'nin ikisi de çift sayı olamaz. İkisinden biri tek sayı olmak durumunda. Kanıta dönersek, bu aşamada eşitliğin her iki tarafının karesini alıyoruz:

$2 = \frac{a^2}{b^2}$.

Ya da bir başka deyişle

$a^2 = 2b^2$.

Buradan anlıyoruz ki $a$'nın karesi, bir sayının iki katı olduğu için çift sayıdır. Bir tek sayının karesi yine tek sayı, bir çift sayının karesi de yine bir çift sayı olacağından $a$'nın kendisi de bir çift sayıdır. Eğer $a$ bir çift sayı ise, o halde o da bir sayının iki katıdır. Bu durumda onu da şu şekilde yazabiliriz:

$a = 2k$.

Asıl denklemimizde $a$ yerine $2k$ yazarsak

$2 = \frac{(2k)^2}{b^2}$

$2 = \frac{4k^2}{b^2}$

$2b^2 = 4k^2$

$b^2 = 2k^2$.

Bir dakika! Eğer $b$'nin karesi de bir sayının iki katı ise, $b^2$ de çift sayıdır. Bu durumda, $b$ de çift sayıdır. Biz ilk denklemimizi en sade formda yazmıştık ve $a$'nın ya da $b$'nin tek sayı olmak zorunda olduğunu söylemiştik. Yani bu bir çelişki doğuruyor. Bu da $\sqrt{2}$ sayısının rasyonel değil irrasyonel olduğu anlamına geliyor.

Umarım yazımı beğenmişsinizdir. Açık olmayan herhangi bir kısım varsa alt kısımdaki yorumlarda belirtirseniz sevinirim. Bir sonraki yazıda görüşmek dileğiyle...