Diferansiyel Denklemlerde İntegral Çarpanını Anlamak

Herkese merhaba, çok ama çok uzun bir aranın ardından tekrar bloga dönebildim sonunda. Bundan sonraki süreçte belli bir düzen oturtabilmeyi ve en azından haftada bir yazı yayınlamayı hedefliyorum.

Lafı çok da fazla uzatmadan bu postun konusuna geleyim isterseniz. Birinci dereceden lineer diferansiyel denklemleri çözebilmek için kullandığımız integral çarpanı metodu dediğimiz bir yöntem var. Bu yazıda da bu yöntemi ispatlamaya çalışacağız.

İsterseniz öncelikle birinci dereceden lineer diferansiyel denklemlerin genel formunu yazalım:

Gördüğünüz gibi doğrudan integrasyon yaparak ya da başka bir biçimde bu denklemi çözemiyoruz. İntegral çarpanı metoduna göre öyle bir değişken var ki denklemin her iki tarafını o değişken ile çarptığımızda denklemi çözebiliyoruz. İşte bu değişkene integral çarpanı deniyor.

Biz bu integral çarpanına ulaşmak istiyoruz. Şu an için bu çarpana "u" diyelim isterseniz. Ve tanımda da söylediğimiz gibi denklemin her iki tarafını bu ifade ile çarpalım:

Şimdi de oluşan denklemi bildiğimiz başka bir denklemin formuna dönüştürelim isterseniz: Çarpımın türevi notasyonuna.

Sizin de fark ettiğiniz gibi 2. denklemin sol tarafının ilk terimi ile 3. denklemin sağ tarafının ilk terimi neredeyse aynı. O zaman diğer terimleri de birbirine eşitleyelim.

y'leri sadeleştirirsek:

u'yu denklemin sağ tarafına atıp integrali alırsak şu sonucu elde ediyoruz:

Buradan u'yu çektiğimizde artık sonuca ulaşmış oluyoruz:

Böylece integral çarpanı metodunu ispatlamış olduk. Bir sonraki yazıda görüşmek dileğiyle...