Tek Parçacık Mekaniği

$\vec{r}$ bir parçacığın, bir orijine göre yarıçap vektörü; ve $\vec{v}$ de onun hız vektörü olsun. Bu durumda hız vektörümüzü, konum vektörümüzün zamana göre değişimi şeklinde tanımlayabiliriz:

\[ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}. \]

Parçacığımızın lineer momentumunu, $\vec{p}$, da; parçacığın kütlesi ile hızının çarpımı olarak tanımlayalım:

\[ \vec{p} = m\vec{v}. \]

Dış nesnelerin ya da alanların etkisi ile bu parçacığa çeşitli kuvvetler etkiyebilir. Bu parçacığa etkiyen tüm kuvvetlerin vektörel toplamı; toplam kuvveti, $\vec{F}$, verir. Parçacığımızın mekaniği, parçacığın hareketinin bir diferansiyel denklem ile açıklandığı ve uygun referans çerçevelerinin var olduğu Newton'ın 2. yasası altında incelenir. Newton'ın 2. yasasına göre:

\[ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \dot{\vec{p}}, \]

ya da

\[ \vec{F} = \frac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}. \]

$\vec{a}$, burada parçacığımızın ivmesini temsil ediyor ve

\[ \vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \]

şeklinde tanımlanır. Bu hareket denklemi, ikinci dereceden bir diferansiyel denklem. Referans çerçevemiz ise "eylemsiz" ya da "Galilean" olarak da anılan bir sistem.

Mekaniğin birçok önemli konsepti korunum teoremleri ile ifade edilir. Korunum teoremleri, zamana bağlı olarak hangi mekanik değerlerin değişmediğini söyler.

Bir Parçacığın Lineer Momentumu İçin Korunum Prensibi: Eğer toplam kuvvet, $\vec{F}$, sıfırsa; $\dot{\vec{p}} = 0$'dır.

$\dot{\vec{p}}$ diyerek ifade ettiğimiz şey, lineer momentumun zamanla değişimi olduğundan ve bu değişim sıfıra eşit olduğundan; "Toplam kuvvetin sıfır olduğu sistemlerde lineer momentum korunur." deriz.

Parçacığın bir $O$ noktasına göre açısal momentumu, $\vec{L}$,

\[ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \]

şeklinde tanımlanır. Burada $\vec{r}$, parçacığın $O$ noktasına göre yarıçap vektörüdür. Şimdi $O$ noktasına göre parçacığa etkiyen torku tanımlayabiliriz:

\[ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}. \]

\[ \vec{r} \times \vec{F} = \vec{\tau} = \vec{r} \times \frac{d}{dt}(m\vec{v}). \]

Bu denklem, vektör eşitliği ve çarpım türevi kuralı kullanılarak şu şekilde de yazılabilir:

\[ \frac{d}{dt}(\vec{r} \times m\vec{v}) = \vec{v} \times m\vec{v} + \vec{r} \times \frac{d}{dt}(m\vec{v}). \]

Vektörel çarpım kuralı gereği $\vec{v} \times m\vec{v}$ ifadesi sıfıra eşittir. Sonuç olarak denklemimiz şu formu alır:

\[ \vec{\tau} = \frac{d}{dt}(\vec{r} \times m\vec{v}) = \frac{d\vec{L}}{dt} = \dot{\vec{L}}. \]

Elbette hem torkun, hem de açısal momentumun $O$ noktasına bağlı olduğunu unutmamalıyız.

Şimdi daha önce lineer momentum için yazdığımız korunum prensibini, açısal momentum için de yazabiliriz.

Bir Parçacığın Açısal Momentumu İçin Korunum Prensibi: Eğer toplam tork, $\vec{\tau}$, sıfırsa; $\dot{\vec{L}} = 0$'dır.

Benzer şekilde açısal momentum değişimi $\dot{\vec{L}}$, açısal momentumun zamanla değişimi olduğu için; "Toplam torkun sıfıra eşit olduğu sistemlerde açısal momentum korunur." deriz.

Gelin şimdi de bir $\vec{F}$ kuvveti tarafından parçacığımız 1. noktadan 2. noktaya götürüldüğünde bu kuvvet tarafından yapılan işi inceleyelim. Tanım gereği yapılan işi şu integralle ifade ediyoruz:
\[ W_{12} = \int_1^2 \vec{F} \cdot d\vec{s}. \]
Kütlenin sabit olduğu durumlar için, bu integrali şu şekilde de yazabiliriz:
\[ \int \vec{F} \cdot d\vec{s} = m\int \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v}dt = \frac{m}{2} \int \frac{d}{dt}(v^2)dt. \]
Bunun sonucunda, yapılan iş;
\[ W_{12} = \frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2) \]
olur.

$\frac{mv^2}{2}$ skaler ifadesi parçacığın kinetik enerjisini ifade eder ve $K$ ile gösterilir. Dolayısıyla yapılan iş, kinetik enerjideki değişime eşit olur diyebiliriz:
\[ W_{12} = K_2 - K_1. \]

Eğer yapılan iş, 1. ve 2. nokta arasındaki tüm olası rotalar için aynıysa uygulanan kuvvet korunumlu bir kuvvettir.

Korunumlu bir sistemi de şu şekilde açıklayabiliriz: Parçacığı 1. noktadan 2. noktaya bir rota üzerinden götürüp başka bir rota üzerinden yeniden 1. noktaya getirdiğimizi varsayalım. Yapılan işin rotadan bağımsız olması demek, bu kapalı devre üzerinde yapılan işin sıfır olduğu anlamına gelir. Bu son ifadeyi matematiksel olarak şu şekilde gösterebiliriz:
\[ \oint \vec{F} \cdot d\vec{s} = 0. \]

Fiziksel olarak, eğer sistemde sürtünme ya da benzeri kuvvetler varsa; sistem korunumlu olamaz. Çünkü sürtünmeden kaynaklanan $\vec{F} \cdot d\vec{s}$ her zaman pozitiftir ve dolayısıyla integralimiz sıfır olamaz.

Vektör analizinden gelen bir teorem gereği (Bunun için ayrı bir yazı yazmayı planlıyorum.) $\vec{F}$, yani kuvvet, konumun skaler bir fonksiyonunun gradyanı şeklinde ifade edilebilir.
\[ \vec{F} = - \nabla V(\vec{r}). \]
Burada $V$ potansiyel, ya da potansiyel enerjidir. Bu potansiyelin varlığını sezgisel olarak şöyle düşünebiliriz: Eğer yapılan iş, 1. ve 2. noktalar arasındaki rotadan bağımsız ise; sadece başlangıç ve bitiş noktalarının konumlarındaki değişime bağlı olmalıdır.
Bu bahsettiğimiz ilişkiyi şu şekilde de yazabiliriz:
\[ \vec{F} \cdot d\vec{s} = -dV, \]
ya da
\[ F_s = - \frac{\partial V}{\partial s}. \]
Korunumlu bir sistem için, kuvvetler tarafından yapılan işi artık şu biçimde yazabiliriz:
\[ W_{12} = V_1 - V_2. \]
Daha önce elde ettiğimiz kinetik enerjili denklem ile bu elde ettiğimiz son denklemi tek denklem haline getirirsek
\[ K_1 + V_1 = K_2 + V_2 \]
ifadesine ulaşırız. Bu denklem üzerinde biraz düşünürseniz eminim ki siz de yeni bir korunum konseptine ulaştığımızı fark edeceksiniz.

Bir Parçacık İçin Enerji Korunumu Prensibi: "Eğer bir parçacığa etkiyen tüm kuvvetler korunumluysa; parçacığın toplam enerjisi, $K + V$, korunur." deriz.

Bu bölümde tek parçacık mekaniğini ele almaya çalıştım. Bir sonraki yazıda görüşmek dileğiyle.

Kaynakça:
Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. Classical Mechanics.

Taylor, J. (2005). Classical Mechanics. Sausalito: University Science Books.