Tek Kütleli Sarkaç | Lagrangian Çözüm

Fiziksel sistemlerin dinamiğini tanımlarken hareket denklemlerini (equation of motion) kullanırız. Bu hareket denklemleri genellikle diferansiyel denklemlerdir (differential equations). Bu denklemleri çözdüğümüzde, bu sistemlerin herhangi bir t anındaki durumunu öğrenebiliriz. Çünkü klasik mekanik deterministiktir. Bu da; belli başlı başlangıç koşullarını bilmemiz durumunda, o sistemin geçmişini ve geleceğini ön görebilmemiz anlamına geliyor. Peki bu hareket denklemlerini nasıl elde edebiliriz? Çünkü farklı dinamiklere sahip sistemlerin farklı hareket denklemleri vardır. Bu durum, onların herhangi bir zaman diliminde bulunacakları durumu etkileyen parametrelerin farklılığından kaynaklanır. İncelediğimiz sistemler için hareket denklemlerini elde etmemize yarayan birden fazla klasik mekanik formülasyonu bulunmakta. Newton mekaniği (Newtonian mechanics), Lagrange mekaniği (Lagrangian mechanics), Hamilton mekaniği (Hamiltonian mechanics) bu formülasyonlara örnek olarak gösterilebilir. Fakat bu farklı formülasyonlar temelde birbirine tamamen denktir ve hangisini kullanırsanız kullanın aynı deterministik sonuçlara ulaşırsınız. Ama tabii her bir formülasyonun kendine özgü avantajları bulunuyor. Söz gelimi, basit bir serbest düşme problemini Newton mekaniği kullanarak hızlıca çözmek mümkünken; sarkaç problemlerinde genellikle Lagrange mekaniği kullanılır. Bu durumun nedenine bu yazıda girerek yazıyı çok uzun hale getirmek istemiyorum. Fakat yakında klasik mekaniğin doğası ve klasik mekanik formülasyonlarının temel farkları üzerine bir yazı yazmayı planlıyorum. Bu yazıda ise önce tek kütleli sarkaç sistemini, ya da başka bir deyişle basit sarkaç sistemini (simple pendulum), Lagrange mekaniği kullanarak çözmeye ve uygun Euler-Lagrange denklemini elde etmeye çalışacağım. Yazı boyunca da şu ana dek yaptığım gibi belli sözcük ve söz öbeklerinin İngilizce karşılıklarını bu sözcük ve söz öbeklerinin yanlarına iliştirerek ileri okuma için okuyucunun işini kolaylaştırmaya çalışacağım. İsterseniz başlayalım.

Görselde gördüğünüz sistem; $m$ kütlesine sahip, noktasal olarak varsaydığımız bir cisimden ve $l$ uzunluğunda kütlesiz bir ipten oluşuyor. İpin dikey eksenle yaptığı açıya da $\theta$ diyelim. Lagrange mekaniği ile çalışacağımız için birkaç temel bilgiyi vermem gerekiyor şu aşamada sanırım. Öncelikle Lagrangian $\mathcal{L}$ dediğimiz bir fonksiyon tanımlıyoruz. Lagrangian, kinetik enerji ve potansiyel enerji farkına eşit ve dolayısıyla hızın, konumun ve zamanın bir fonksiyonu. Bu konunun detaylarına, minimum eylem prensibi (the principle of least action) üzerine hazırlayacağım yazıda girmeyi planlıyorum. Şimdilik bu bilgilerle devam edelim isterseniz. Lagrangian'ın kinetik enerji ile potansiyel enerjinin farkı olduğundan bahsetmiştim en son. Dolayısıyla her tür sistem için yazacağımız Lagrangian farklı olacak. Temelde yapacağımız şey, incelediğimiz sistem için Lagrangian'ı yazıp Euler-Lagrange denkleminde (Euler-Lagrange equation) gerekli işlemleri yapmak. Euler-Lagrange denklemi şu şekilde:

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} = 0. \]

Burada $q$, genelleştirilmiş konumu; $\dot{q}$ ise, genelleştirilmiş hızı temsil ediyor. Genelleştirilmiş koordinatları ayrı bir yazıya bırakıyor ve biz açısal değişkenlerle çalışacağımız için denklemi şu şekilde revize etmeyi tercih ediyorum bu aşamada:

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta} - \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} = 0. \]
Şimdi sırada daha önce de bahsettiğim Lagrangian fonksiyonumuzu yazmak var. Lagrangian'i kinetik enerji ile potansiyel enerjinin farkı olarak tanımladığımızdan söz etmiştim.
\[ \mathcal{L} = K - V \]
Kinetik enerji neredeyse herkesin bildiği gibi $\frac{1}{2} mv^2$ olarak yazıyoruz. Fakat daha titiz olmak ve işleri kolaylaştırmak adına hızı konumun zamana göre birinci türevi olarak yazalım:
\[ K = \frac{1}{2} m {(l \dot{\theta}})^2. \]
Fark ettiğiniz üzere $x$ ve $y$ gibi kartezyen değişkenler yerine açısal değişkenleri kullanıyoruz. Lagrangian'imizi yazmak için şimdi potansiyel enerji terimini yazalım isterseniz. Sistemimize etkiyen korunumlu kuvvetimiz kütleçekimi olduğu için potansiyelimiz lisede öğrendiğimiz gibi $mgh$ olacaktır. Fakat açısal değişkenlerle çalıştığımız için onu da şu şekilde revize etmeliyiz:
\[ V = mgl(1 - cos{\theta}). \]
Şimdi Lagrangian'imizi yazmaya hazırız:
\[ \mathcal{L} = \frac{m}{2} l^2 {\dot{\theta}}^2 - mgl(1 - cos{\theta}). \]
Bu adımda da tanımladığımız Lagrangian için Euler-Lagrange denklemindeki gerekli işlemleri uygulayacağız. İlk terimden başlayalım:
\[  \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta} = - mglsin{\theta}. \]
Şimdi sırada ikinci terim var:
\[ \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} = ml^2 \ddot{\theta}. \]
Artık Euler-Lagrange denklemini yazabiliriz:
\[  \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta} - \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} = - mglsin{\theta} - ml^2 \ddot{\theta} = 0.  \]
Küçük bir sadeleştirmeden sonra denklemimiz şu formu alıyor:
\[ gsin{\theta} + l \ddot{\theta} = 0.\]
Artık son bir dokunuşla, ivme terimini yalnız bırakarak, yazmaya çalıştığımız Euler-Lagrange denkleminin son haline ulaşmaya hazırız:
\[ \ddot{\theta} = \frac{g}{l} sin{\theta}. \]

Buraya kadar sabrederek bu yazıyı okuduğunuz için teşekkür ediyorum. Her türlü eleştiri ve öneriye açığım. Bir sonraki yazıda buluşmak dileğiyle...

Referanslar ve İleri Okuma İçin:

Goldstein, H., Safko, J., & Poole, C. P. (2014). Classical mechanics. Essex, England: Pearson.

Görsel Kaynağı:

https://doubtnut.com/question-answer-physics/when-will-the-motion-of-a-simple-pendulum-be-simple-harmonic-26299919