Moleküler Modellemeye Giriş | Lennard-Jones Etkileşimleri Üzerine
Bir süredir moleküler modelleme (molecular dynamics / molecular modeling) üzerine yazmak istiyor fakat sürekli çeşitli nedenlerden ötürü bunu erteliyordum. Sonunda yazmak istediğim daha ileri düzey konulara dayanak oluşturması için artık daha fazla ertelemeyip buna bir giriş yapmaya karar verdim.
Moleküler modelleme; Wikipedia'ya göre, teorik ya da hesaplamalı; herhangi bir amaç için atomların ve moleküllerin davranışlarını modelleme çabalarının bir bütünüdür. Atom fiziğinden, malzeme bilimine; kimyadan, moleküler biyolojiye kadar bilimin birçok alanında da geniş uygulamalara sahip bir disiplindir.
Temelde Newton'ın ikinci yasasını, $\vec{F} = m\vec{a}$, $n$ sayıda atom ya da molekül için çözme prensibine dayanır. Yani moleküler modelleme, klasik mekaniksel bir metottur. Kuantum mekaniksel etkileri göz ardı eder. Bu nedenle kuantum mekaniksel etkileşimlerin göz ardı edilemeyecek kadar etkili olduğu sistemlerde kullanılmaz.
Henüz kaç yazıdan oluşacağını ya da ne kadar sürede tamamlanacağını öngöremediğim bu yazı dizisinde; öncelikle bu yazıda Lennard-Jones etkileşimlerini açıklayarak başlamayı, sonraki yazılarda da bu etkileşimleri kullanarak nasıl atomik simülasyonlar yapıldığından bahsetmeyi, sonunda da belli bir sayının üzerinde atom barındıran sistemlerin modellerini yapmayı ve bu modelleri görsel olarak simüle etmeyi planlıyorum.
Şimdi isterseniz Lennard-Jones etkileşimleri ile başlayalım. Sir John Edward Lennard-Jones tarafından, argon üzerine çalıştığı araştırmasında öne sürülen bu etkileşimin temelinde; aynı etkileşimin mesafeye bağlı olarak itici ve çekici kuvvete neden olması var. Bu aşamada öncelikle iki atomlu bir sistem için Lennard-Jones potansiyelini tanımlayalım ve terimler üzerinden devam edelim istiyorum.
\[ V(r_{ij}) = 4\epsilon \bigg[\bigg(\frac{\sigma}{r_{ij}}\bigg)^{12} - \bigg(\frac{\sigma}{r_{ij}}\bigg)^6 \bigg]. \]
Burada $i$ ve $j$, sistemimizdeki atomları; $r_{ij}$, bu atomlar arasındaki mesafeyi; $\sigma$, bu iki atom arasında atomlar arası etkileşimin sıfır olduğu mesafeyi; $\epsilon$ ise, bu atomlar arasındaki etkileşimin ne kadar güçlü olduğunu temsil ediyor.
Denklemde de gördüğünüz üzere Lennard-Jones potansiyeli, atomlar arasındaki mesafenin bir fonksiyonu. Yani atomlar arası mesafeye doğrudan bağlı. Bu denklem empirik, yani deneysel verilerin ışığında geliştirilen, bir denklem olduğu için herhangi bir denklemden doğrudan türetilmiş değil. Yapılan deneylerden biliyoruz ki $r_{ij}$, belli bir değerden büyük olduğunda atomlar birbirini çekiyor; fakat bu değerden küçük olduğunda, orbitalleri çakışmaya başladığı için, birbirini itiyor. $r_{ij}$'nin bu kritik değere eşit olduğu durumda ise sistemimiz dengede oluyor.
Şimdi isterseniz bu potansiyelin $r$ değişkenine göre grafiğini çizdirelim.
Python'da Numpy ve Matplotlib kütüphanelerini kullanarak denklemimizi koda döktük. Yazdığımız kodu çalıştırdığımızda ise şu şekilde bir çıktı alıyoruz.
Eğer internet üzerinden ya da belli kitaplardan bu konuda bir araştırma yaparsanız bu grafiğin çok benzerlerini görürsünüz. Farkı yaratan sadece kullanılan parametrelerin farklılığıdır ki bu da üzerinde çalıştığımız atomların farklılığından kaynaklanır.
Bu bölüm buraya kadardı, okuduğunuz için teşekkür ederim. Bir sonraki yazıda bu potansiyelden kaynaklanan kuvveti türetip hareket denklemleri yazmaya başlayacağız. Görüşmek üzere.
Yararlanılan Kaynaklar:
Yorumlar
Yorum Gönder